Задачки - заморочки на різний смак від Шверненка Юрія Івановича.
1). Три дівчини з гурту «ВІАГРА» відпочивали
у єгипетському готелі і заплатили
директору по 10 євро. Директор вирішив,
що дівчата роблять своєю присутністю
рекламу його закладу, тож віддав 5 євро метрдотелю, щоб той їх їм повернув назад. По дорозі метрдотель
змикитив що оті 5 євро ніяк на 3 не діляться, тому забрав собі 2 євро, а дівчатам
віддав по одному євро. По дорозі до вестибюлю виникла у нього думка: якщо кожна
дівчина заплатила за проживання 10 євро їй повернули 1 євро, то вони заплатили
по 9 євро, отже разом 9 х 3 =27 євро. Якщо до них додати 2 вкрадених ним євро,то
вийде в сумі 29. Питання: де ділось оте євро?
Розв’язок задачі.
Метрдотель не змігши знайти оте
євро повернув дівчатам 2 євро , дуже
вибачався, просив,щоб вони не розповідали директору. Але і дівчата цього казусу
не змогли осягнути,тож директор все про це взнав, та і заспокоїв їх тим, що ніякий долар не пропав: просто всі
вони рахували різні гроші. У директора було 30 доларів, він віддав 5 з яких 3
відали дівчатам, а 2 хотів вкрасти метрдотель, отже всі гроші залишились на
місці. Можна рахувати і інакше; дівчата
заплатили 30 доларів, їм віддали 3 долари, отже
їхні 27 + 3= 30 доларів теж ніде не пропали.
2). Маємо 6 монет, які розташовані таким чином (див.малюнок).
Треба перекласти одну монету так, щоб було два ряди по 4 монети.
3).Чумаки Марко та Онопрій розвели у полі багаття, щоб зварити чумацький куліш. Марко
засипав 300 грам пшона, а Онопрій– 200 грам. Коли куліш зварився , до
них підсів перебендя, який не мав нічого, але після трапези віддав їм 5 гривень. Як чумаки повинні поділити ці гроші між собою?
Відповідь.
Зазвичай відповідають,
що Маркові треба віддати 3 гривні, а
Онопрію – 2 гривні, але це не
зовсім правильно. Адже перебендя заплатив
5 гривень лише за одну порцію каші, отже вся їжа коштує 15 гривень. Тоді
Марко вніс продукти вартістю 15 /500* 300 = 9 грн, а Онопрій відповідно 15 /500*
200 = 6 грн. Оскільки кожен з’їв на
5 грн, то Маркові треба віддати 4 грн, а Онопрію -1 грн.
4).На
дитячому майданчику стоять у колі 4 дівчинки: Надя, Валя, Ганна та
Галя. Дівчинка у зеленій сукні ( не Ганна і не Валя) стоїть між Надією
та дівчинкою блакитній сукні, а дівчинка у білому вбранні має сусідками
Валю та дівчинку у жовтій сукні. Яке вбрання має кожна з дівчат?
Відповідь.
З умови задачі зрозуміло, що у зеленій
сукні не Ганна , не Валя і не Надя, тобто у ній Галя. Валя не може мати зелену, білу і жовту сукні,
тож на ній блакитна і вона стоїть поруч з Галею напроти Наді. Тоді у білому
вбранні між Валею та Надею стоїть Ганна. Отже сукня на Наді зелена.
5).
Запорожець Лютий зайшов у шинок і
замовив кварту горілки за 3 гривни, З коробки тютюну, люльку за 6 гривен, та 9
камінців для свого кресала, проте ціну тютюну і камінців він не знав. Але коли
з нього крамар почав вимагати 11 гривень 80 копійок, Лютий зразу витягнув
шаблю, після чого крамар виправив помилку. Як козак зрозумів, що його дурять?
Відповідь.
Лютий
зрозумів, що сума його замовлень ділиться на 3 а, ціна- ні.
6).Майстер спорту Сивий, кандидат у майстри
Чорний та першорозрядник Рудий зустрілись перед початком шахового турніру.
Зверніть увагу, сказав чорноволосий, - один з нас сивий, другий
рудий, третій чорний, але ні в кого
колір волосся не співпадає з прізвищем. Ти правий,- підтвердив майстер. Якого кольору волосся у кандидата у
майстри?
Відповідь.
Майстер не чорноволосий і не
сивий, отже рудий, тоді
кандидат у майстри може бути
тільки сивим.
7)
У мене на рахунку у банку є 50 євро . Потім я їх забираю у
такому порядку:
Знято з рахунку
|
Залишилось на рахунку
|
20
|
30
|
15
|
15
|
9
|
6
|
6
|
0
|
Всього: 50
|
Всього: 51
|
Чому мені не віддали 1 євро?
Відповідь.
У задачі зовсім недоречно склали
залишки на рахунку, адже вони ніяким чином не повинні дорівнювати сумі вкладу.
Наприклад, якби я знімав по 1 гривні, то
сума залишків була б досить солідною : (49+ 48+47+ і т.д).
. Алгебраїчний розв’язок старовинної китайської
задачі.
Шверненко Юрій Іванович.
8. У науково
–популярній літературі зустрічається старовинна китайська задача:
«Місто огороджено кріпосними
стінами діаметром д ,що мають двоє воріт: північні та південні. Якщо вийти з
південних воріт та пройти на захід 9 стадій до старого дуба, то мимо стіни
видно розкішний трояндовий кущ, що росте
на відстані 3 стадії від північних воріт. Знайти діаметр міста».
Варіанти цієї задачі зустрічаються і
у єгиптян і у греків і у римлян, але
розв’язували вони цю задачу лише методом геометричної пропорційної побудови.
|
Пропоную свій розв’язок цієї задачі із застосуванням алгебри.
 |
|||
|
|||
За властивістю дотичної АМ =АД*АС, або х2
=3*(3 +9d)
Знайдемо площі трикутника АВС та його складових : трикутника АОМ та
трикутника ОАС.
SABC=1/2*AC*BC=(9*(3+D))/2; SABC = SAOB+SBOC
SAOB = AB*OM/2=d*(9+x)/4, тому що ВМ = ВС = 9 ст. за властивістю відрізків дотичних
до кола.
SBOC = OC*BC/2=9*d/4, отже 9*(3+d)/2=d*(9+x)/4+9*d/4, або
54 +18*d=9*d+d*x+9*d, тоді d*x = 54, x=54/d.
Маємо:
x2=3*(3+d) x2=9+3d
x=
54/d x=54/d 542/d2 =9+3d
3d3+9d2-2916=0 і, нарешті, d3 +3d2-972=0
Якщо у кубічного рівняння є цілі корені, то вони будуть серед дільників
вільного члена, тобто, числа 972. Таким коренем є число 9, адже 729 + 243 – 972
= 0. За теоремою Абеля d3 +3d2 – 972 = (d-9)*(d2 +12d+108).
Рівняння d2 +12d +108 = 0 розв’язків не має, тому що D = 144-432<0, отже задача має єдиний розв’язок, тому діаметр
міста становить 9 стадій. Зрозуміло, що у старовину складність алгебраїчного
методу полягала у розв’язанні рівняння третього степеня. З аналізу відповіді
визначимо, що х = 54/9 = 6 стадій, тоді АВ = 15 стадій, АС = 12 стадій і
виконується теорема Піфагора:
122 +92 = 144 +81 = 225 і 152 = 225, тож
розв’язок правильний.
9 Барон Мюнхаузен одного разу розповів таку історію:
ми зі слугою підійшли до не досить
широкої, але глибокої річки .Коло берега стояв човен, що міг перевозити лиш
одну людину. І все таки
кожен з них не тільки переплив на другий
берег, але і човен залишили на
місці. Чи можна вірити барону?
Відповідь
Це задача
з елементарної логіки. Якщо Мюнхаузен та його слуга змогли переїхали на другий берег то це означає, що вони підійшли до річки з різних берегів, адже ніяких обмов про це не було.
10. На одній карпатській турбазі відпочиваючі забажали зробити сходження на Говерлу. Оскільки це не входило програму, то гід
у неділю повідомив, що сходження відбудеться на наступному тижні, але це
буде сюрприз і всі про це взнають лише вранці дня походу.
Один з відпочиваючих зразу ж
заявив, що сходження на Говерлу не буде,
тому що, якщо до суботи походу не буде,
то в суботу вранці всі будуть знати про сходження, отже це вже не сюрприз.
Точно так не можна йти на гору і у п’ятницю, бо у вечері четверга буде
зрозуміло, що треба йти на гору, а це вже не таємниця. Відкидаючи п’ятницю і суботу ми також можемо сказати, не можна
вирушати у четвер, бо про це буде відомо у середу , а також у середу, вівторок і понеділок з тих же
міркувань. Чи підуть люди на Говерлу за таких умов?
Відповідь.
Логічна пастка у першому припущенні; суботу можна виключити лише в тому випадку,
якщо і правда сходження до цього не могло бути, а це нічим не обґрунтоване, тому не зважаючи на заяву одного з відпочиваючих, у похід можна
йти на умовах гіда у любий день , але і
правда крім суботи.
11.У
стародавньому індійському храмі
стояли статуї трьох богів :
бог Правди, який говорив лише правду, бог
Брехні , що завжди говорив неправду та бог Дипломатії, котрий міг сказати і
правду і збрехати, тому прихожани не могли зрозуміти істинність відповіді.
Одного
разу до храму зайшов прихожий, який задав богам всього три питання і
зміг цих богів розпізнати. Бога, який стояв крайнім зліва він запитав – «Хто стоїть посередині вас ?», на
що дістав відповідь –«бог Правди». Потім він спитав середню статую – «Ти хто ?».
«Я бог Дипломатії», - відповіла статуя. Коли він запитав у правої статуї –«Хто стоїть між вами ?» - відповідь була –«бог Брехні».
Хто де стояв ?
Відповідь
З відповіді лівої статуї можемо визначити, що це не бог Правди , бог, що
посередині теж не може бути богом Правди, тож богом
Правди є той, що крайній з правого боку. Отже посередині бог
Брехні , а зліва бог Дипломатії.
.
12. Якщо підеш у ліс , як далеко можеш зайти, якщо тебе не
злякає лісовик ?
Відповідь
До середини
13. Двоє пішли в
ліс і 27 грибів знайшли. Якщо троє підуть, скільки грибів знайдуть ?
Відповідь.
Скільки
знайдуть.
14.Зранку пішов
Кіндрат з Лелеківки в Кіровоград. Другий Кіндрат залишився
дома; з поля йому привезуть солому. Назустріч Кіндрату йшло троє
хлоп’ят, кожен з них ніс по троє котят Кожне з котяток пісню співало, отже
народу було немало. Тож скільки людей і котят пішло в той день в Кіровоград ?
Відповідь.
Один Кіндрат
15. Селянка
принесла на базар яйця, щоб продати. Перша домогосподарка купила у неї половину
всіх яєць і ще пів яйця, друга – половину залишку і теж пів яйця, а третій
дісталась лише остання крашанка. Скільки яєць було у селянки до продажі?
Відповідь.
Друга домогосподарка купила половину
залишку після першої і ще пів яйця після чого залишилось лише одне, значить
півтора яйця - це половина того, що купила перша, отже перша взяла три
яйця, друга – два і одне купила третя.
Всього було 7 яєць.
16.Сто горіхів
треба роздати між 25 людьми, так щоб у
кожного з них була непарна їх кількість. Як це зробити?
Відповідь.
Зробити цього не можна ніяк,
тому що непарна сума непарних чисел не може бути парною.
17. У еміра було
два сина, що претендували на батькове
місце, бо він був дуже старий. Щоб
попередити сварку між синами, емір влаштував між ними змагання. Емір
сховав заповіт у найближчому оазисі , посадив синів на їхніх верблюдів : старшого на сірого, а
меншого на рудого. Умова змагань була така: заповіт отримує той із синів, чий
верблюд прийде останнім. Звичайно, після оголошення такої умови ніхто з синів
не зрушив з місця. Після довгого чекання до них підійшов каді, прошепотів щось
кожному на вухо, після чого обидва сіли
на верблюдів і поскакали з максимальною швидкістю .Хто з них переміг, історія
не зберегла, але що ж сказав синам старий каді?
Відповідь.
Каді порадив їм помінятись верблюдами.
18. Я граю з вами
у таку гру. На одній стороні папірця я
пишу про деяку подію, що може як відбутись так і не відбутись. Папірець я покладу на стіл написаним униз,
тож Ви не знаєте змісту мого
повідомлення. На верхній частині папірця Ви маєте написати «так», якщо
вважаєте, що написане мною відбудеться, або «ні» , коли не відбудеться. Заковика вся в тому що в обох
випадках я виграю, а Ви програєте. Так що я написав на нижній половині папірця
?
Відповідь.
Моє повідомлення : «Ви напишете «ні» ».
19. Стародавній Вавілон. Місто оточене ровом з водою,через який
перекинуто міст , на якому стояла шибениця .Кожен, хто проходив через міст мав
сказати, яка мета його візиту і якщо він скаже правду, його пропускають, якщо
збреше, повісять на шибениці. Одного
разу на міст прийшов скитник, який на питання –«Куди йдеш ?»- відповів :-« Я прийшов,
щоб ви мене повісили».
Що повинна зробити сторожа, пропустити, чи повісити?
Відповідь.
Сторожа не змогла зробити вибір,
тож звернулись до начальника дозору,
який виніс такий вирок : «Його можна і
повісити і відпустити, але відпустити буде більш по людські ».
20. Задача А.Н Старичкова.
« Ей было тысяча сто лет, она в сто первый
класс ходила, в портфеле по сто книг носила - все это правда , а не бред. Когда пыля
десятком ног , она шагала по
дороге, за ней бежал щенок с одним хвостом , зато стоногий. Она ловила
каждый звук своими десятью ушами, и
десять загорелых рук портфель и поводок
держали.
И десять темно – синих глаз рассматривали мир привычно…
Но станет
все совсем обычным, когда поймете наш рассказ.»
Відповідь.
Всі числа у
двійковій системі.
.
21. 9
підручників з математики коштують менше 10 доларів, а 10 таких же книг
мають вартість більше 11 доларів. Назвіть ціну одного підручника.
Відповідь.
З умови задачі виходить, що 9х менше
10 доларів, отже х менше
чи рівне 1 долар 11 центів, а з
умови, що 10х менше 11 доларів, виходить, що х більше чи рівне 1 долар 11
центів, отже ціна підручника 1 долар 11
центів.
22. Жіночка з набридливої реклами ніяк не може заснути, пігулки
звичайно ж не допомагають, тож вона рахує пальці на лівій руці, бо на правій один ніготь недофарбований.
Підраховує вона таким чином : великий -1, вказівний -2, середній -3, безіменний
– 4, мізинець – 5 ,тоді знову мізинець – 6, безіменний – 7, середній -8,
вказівний – 9, великий – 10 ; далі все повторюється. Судячи з реклами заснути
вона так і не змогла, тож який палець був у неї 2015 ?
Відповідь.
При підрахункові пальців все повторюється
з періодом 10, тож
2015 =201 *10 + 5, отже цей палець – мізинний.
23. У черзі у шкільній
їдальні стоять Юрко, Мишко. Володя, Сашко та Олег. Юрко стоїть попереду Мишка,
проте після Олега, Володя та Олег не стоять поруч , а Сашко не має сусідами ні
Юрка, ні Олега, ні Володю. В якому порядку стоять хлопці ?
Відповідь.
Сашко може стояти лише останнім за Мишком,
тоді попереду Мишка будуть Володя, потім Юрко і Олег.
24. Ви бачите перед собою дев’ять нулів. Їх
треба перекреслити чотирма лініями не відриваючи пера від паперу.
О О О
О О О
О О О.
Відповідь.
25. Десять васалів принесли
сюзерену по мішку флоринів,
але той знав, що у одного з них гроші фальшиві (на 1 гран легші). Лише за
одне зважування сюзерен знайшов шахрая. Як ?
Відповідь.
Сюзерен
взяв з першого мішка 1 монету, з другого
– 2, з третього – 3 і т. д. до десятого.
Різниця у вазі вкаже в якому мішку
фальшиві флорини.
26. У 6 –А класі
9 учениць (хлопці якраз сиділи у
комп’ютерному класі) перемножили номер місяця на число дня
народження і ось що вийшло : Віка - 49,
Ліана – 13, Настя – 52,
Оля – 130, Олена – 143, Яна – 300, Аліна – 135, Ірина – 128, Софія – 61. Так хто
ж з них коли народився ?
Відповідь.
Віка – 7.07, Ліана – 13.01, Настя – 13.04, Оля - 13.01,
Олена – 13.11, Яна -30.10, Аліна – 37,05, Ірина
- 16.08, Софія – 9.09 .
27. За круглим столом
сиділи чотири офіцери. Лейтенант проти Туза, поруч з майором. Капітан сидів поруч з Морозом. Сусіди
Козирєва – Туманов і полковник. Проти кого сидів майор ?
Відповідь.
На першому стільці сидить
лейтенант, на другому майор, а на третьому - Туз. Тоді на четвертому стільці сидить або
капітан, або полковник. Якщо на четвертому
стільці сидить капітан, то лейтенант - Мороз, Туз – полковник , а майор –Козирєв. Проте в
цьому випадку сусіди Козирєва – Туманов і
капітан, не полковник. Отже на
четвертому стільці сидить полковник, прізвище лейтенанта Козирєв, майора –
Туманов, а Туз –капітан. Тоді проти майора сидить полковник Мороз.
28. Три мушкетери
мали переправитись на інший берег річки, по якій на човні двоє хлопчиків .
Човен може витримати лише або двох хлопчиків, або одного мушкетера. Як можна
здійснити переправу?
Відповідь.
Двоє хлопчиків перепливають річку, один там залишається, другий повертається. Перший
мушкетер на човні перепливає річку , і перший хлопчик перевозить човен на цей берег, забирає
другого хлопчика і вони пливуть на
протилежний берег, один з хлопців там залишається, інший повертає човен, на
якому здійснює переправу другий мушкетер.
Хлопчик з того берега повертається, забирає другого і знов один з них
залишається, другий перевозить човен на якому річку перепливає третій мушкетер,
а хлопчик повертає човна назад.
29. У хлопця братів і сестер порівну, а у його
сестри братів вдвічі більше, ніж сестер. Скільки в сімї дітей ?
Відповідь.
Нехай сестер х, а братів – у, тоді
за умовою у-х=1 , а у = 2(х – 1), звідки х = 3 , а у = 4.
30. На питання скільки у неї кошенят Наталка
відповіла: « Три чверті всіх кошенят і ще три чверті кошеняти». Так скільки у
Наталки кошенят ?
Відповідь.
Чверть всіх кошенят складає три
чверті кошеняти, тож всіх вчетверо більше, тобто три.
31.
Ця задача відома з 1484 року ( Шюке ) . З повної посудини у 8 літрів оливкового масла треба розлити по 4 літра за допомогою пляшок ємністю 5 л і 3 л.
Відповідь .
У цієї задачі є два розв’язки:
А. Кожен раз з великої посудини відливають у 5 літрову пляшку, потім з неї у трилітрову, звідки масло повертають у велику посудину, тобто : 8,0,0 ; 3,5,0; 3,2,3; 6,2,0; 6,0,2; 1,5,2; 1,4,3; 4,4,0.
Б. Масло виливають у малу пляшку потім повертають у велику посудину порціями через пятилітрову пляшку : 8,0,0 ; 5,0,3; 5,3,0; 2, 3,3; 2,5,1, 7,0.1; 7,1,0; 4,0,3; 4,4,0 .
А. Кожен раз з великої посудини відливають у 5 літрову пляшку, потім з неї у трилітрову, звідки масло повертають у велику посудину, тобто : 8,0,0 ; 3,5,0; 3,2,3; 6,2,0; 6,0,2; 1,5,2; 1,4,3; 4,4,0.
Б. Масло виливають у малу пляшку потім повертають у велику посудину порціями через пятилітрову пляшку : 8,0,0 ; 5,0,3; 5,3,0; 2, 3,3; 2,5,1, 7,0.1; 7,1,0; 4,0,3; 4,4,0 .
32.У господаря
спитали: «Чий портрет висить у вітальні?» Відповідь була дещо неочікувана :
«Батько того, що висить є єдиний син батька, того,що говорить». То чий то
портрет?
Відповідь
Відповідь господаря у простій формі звучить так: « Батьком того, хто на
портреті є я», отже це портрет його сина.
Немає коментарів:
Дописати коментар